P11 Q43 2/2012 TRANSPETRO

Enunciado da questão 43

Um mol de um gás monoatômico ideal sofre a transformação LMN reversível mostrada no diagrama PV.

A quantidade de calor, em kJ, trocada entre o gás e a vizinhança, durante essa transformação, é:

Dados:

Calor específico do gás ideal monoatômico a volume constante = 3R/2

Calor específico do gás ideal monoatômico a pressão constante = 5R/2

onde R = 8,3 J.mol−1.K−1

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Princípios da Resolução de Problemas

Vou utilizar o método que li no livro de Cálculo do Stewart descrito em Princípios da Resolução de Problemas.

Este método consiste em interpretarmos um problema e nos perguntarmos sobre alguns elementos do enunciado para nos ajudar na busca e no caminho de uma solução.

Ele parte de três questionamentos básicos. São eles:

• Qual é a incógnita?
• Quais são as quantidades dadas?
• Quais são as condições dadas?

Responderemos cada uma delas, já comentando os elementos importantes que nos são esclarecidos diante deste questionamento.

Qual é a incógnita? A incógnita é Q, a quantidade de calor trocada entre gás e vizinhança.

Quais são as quantidades dadas? Nos é dado, pelo gráfico, algumas informações quantitativas, como P e V inicial e final (bem como ao longo) do processo e, portanto o “caminho” do processo. É importante lembrar que para calcularmos Q ou W precisamos saber o “como” o processo saiu do seu estado inicial e chegou ao final. Este “como” é o caminho. Diferentemente, para calcularmos variações nos valores de variáveis de estado não nos interessa qual caminho foi tomado.

Vemos no gráfico que o processo pode ser dividido em 2 etapas, sendo a etapa 1 isovolumétrica e a  etapa 2 isobárica.

Nos é dado também, Cp e Cv. Um deles já seria um dado suficiente, uma vez que Cp= Cv + R.

Quais são as condições dadas? As condições dadas são sempre muito importantes para a resolução de exercícios, elas nos dão a partir da sua interpretação, quais as leis ou fórmulas que podem ser aplicadas ao fenômeno observado. Diante deste caso, a condição do gás ser ideal implica a aplicabilidade da lei dos gases ideais PV=RT; o processo reversível implica a condição de equílibrio entre a pressão externa e a interna, resultando portanto na validade da fórmula do trabalho igual a W = – ∫ PdV, graficamente, o trabalho é numericamente igual a área abaixo da curva que representa o processo. Ele será positivo quando trabalho é fornecido ao sistema e negativo quando trabalho é realizado pelo sistema. Se o sistema realizada trabalho sobre a vizinhança, é devido ao seu volume ter aumentado e se a vizinhança que realiza trabalho no sistema, é devido ao volume do mesmo ter contraído. Logo, a partir da interpretação do enunciado, no qual o processo transcorre de L para M para N. O volume aumenta e portanto o trabalho é negativo (realizado pelo sistema).

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Resolução

É importante observar logo de cara que neste exercício, uma vez que sua incógnita é Q e nos é fornecido o diagrama PxV, a primeira lei da termodinâmica parece ser muito útil na sua resolução.

Partimos da hipótese de que o sistema é fechado (matéria não atravessa a fronteira), uma vez que nada nos é dito sobre o contrário e o 1 mol permanece o mesmo.

Logo, a primei lei de estabelece como: ΔU = Q + W

Logo , rearrajando Q = ΔU – W

ΔU para um gás ideal depende apenas da temperatura e, dado Cv constante, ΔU = CvΔT. Isto para o processo como um todo, logo ΔT deve ser avaliado como T_N -T_L onde os subscritos N denotam o estado final e L o estado inicial.

Ora, W é numericamente a área abaixo da curva no gráfico. De acordo com a notação adotada já mencionada, como o de L para N o volume aumenta, W < 0 , logo -W > 0.

Assim,

Q = ΔU + A _▭

onde A _▭ é a área do retangulo abaixo da curva do gráfico, veja  a figura abaixo, onde a área do retângulo cujo valor é igual ao trabalho está preenchida em vermelho.

                                    Área abaixo da curva do gráfico P versus V

 

Calculando A _▭  = 2 x 10⁵ x (100 – 40) x 10^-3= 2 x 60 x 10²= 12 000

Logo, – W = 12 000 J ou 12 kJ.

Já ΔU = Cv x (T_N -T_L)

Utilizando a lei dos gases ideais T= PV/R e sendo Cv= 3R/2, logo:

ΔU = 3R/2 x (P_N V_N – P_LV_L) / R

R se cancela pois aparece no numerador e denominador. A pressão e o volume são obtidos pelos pontos do gráfico PV em L e N. Assim,

ΔU = 3/2x(2×100 – 1×40)x10⁵x10^-3=3/2x(200-40)x10²=3/2x160x10²= 24 000 J ou 24 kJ

Portanto,

Aplicando novamente o que encontramos

Q = ΔU + A _▭

Q = 24 + 12

Q = 36 KJ

(Alternativa E).